ネイピア数の微分がネイピア数になることの証明

放送大学の「入門微分積分 '16」第五課を読んでいる。ネイピア数の導関数が次のようになることを知った。

$\displaystyle (e^{x})' = e^{x}$

証明を一読して（わけわからんやん...）となってしまっていたところ、じっくりと精読していたら論理をはっきりと見抜くことができた。きちんと読めばわかるというのが嬉しく、その気持ちのまま自分のためのまとめとして記録する。

前提

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$

証明

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = e$ の導出

$\displaystyle x=-t$ とおくと

$\displaystyle (1+\frac{1}{x})^{x} \\\displaystyle = (1-\frac{1}{t})^{-t} = (\frac{t-1}{t})^{-t} \\\displaystyle = (\frac{t}{t-1})^{t} = (\frac{t-1+1}{t-1})^{t} = (1+\frac{1}{t-1})^{t} \\\displaystyle = (1+\frac{1}{t-1})^{t-1}(1+\frac{1}{t-1})$

である。 $x \to -\infty$ のとき $t \to \infty, t - 1 \to \infty$ であるから

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^{x} \\\displaystyle = \lim_{t-1 \to \infty}(1+\frac{1}{t-1})^{t-1}(1+\frac{1}{t-1}) \\\displaystyle = \lim_{t-1 \to \infty}(1+\frac{1}{t-1})^{t-1} \cdot \lim_{t-1 \to \infty}(1+\frac{1}{t-1}) \\\displaystyle = e \cdot 1 = e$

となる。

$\displaystyle \lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}} = e$ の導出

$\displaystyle x = \frac{1}{k}$ とおけば、 $x \to \infty, x \to -\infty$ の極限を用いて

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = \lim_{\frac{1}{k} \to \infty}(1+k)^{\frac{1}{k}} = \lim_{k \to +0}(1+k)^{\frac{1}{k}} = e$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = \lim_{\frac{1}{k} \to -\infty}(1+k)^{\frac{1}{k}} = \lim_{k \to -0}(1+k)^{\frac{1}{k}} = e$

より、右極限と左極限が導ける。よって次の極限

$\displaystyle \lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}} = e$

が成り立つ。

$\displaystyle \lim_{k \to 0}\frac{k}{\log{}(1+k)} = 1$ の導出

$\displaystyle \frac{k}{\log{}(1+k)} = \frac{1}{\frac{1}{k}\log{}(1+k)} = \frac{1}{\log_{}(1+k)^{\frac{1}{k}}}$

のように式変形を施しておく。これの $k \to 0$ の極限は

$\displaystyle \lim_{k \to 0}\frac{k}{\log{}(1+k)} = \lim_{k \to 0}\frac{1}{\log_{}(1+k)^{\frac{1}{k}}} \\\displaystyle = \frac{1}{\displaystyle \log_{}(\lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}})} \\\displaystyle = \frac{1}{\log_{}e} = 1$

と導ける。

$\displaystyle (e^{x})' = e^{x}$ の導出

ここまでを準備として、 $\displaystyle (e^{x})'$ を計算する。

導関数の定義より

$\displaystyle (e^{x})' = \lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} = e^{x} \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$

である。ここで $\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$ を求められれば、導関数は求められそうである。

$\displaystyle k = e^{h} - 1$ とおくと $h \to 0$ のとき $k \to 0$ である。また対数の定義より $\displaystyle h = \log{}(e^{h})$ であるので

$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h} \\\displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{\log{}(e^{h})} \\\displaystyle = \lim_{k \to 0}\frac{k}{\log_{}(1+k)} \\\displaystyle = 1$

結論

以上より

$\displaystyle (e^{x})' = e^{x} \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h} = e^{x} \cdot 1 = e^{x}$