逆三角関数の微分 - ﾕﾕﾕﾕﾕ

適当に暗記していたものだからすべて忘れていた。「入門微分積分」の第五回より、導出のノートを取り直したのを書いておく。

逆関数の導関数

関数 $\displaystyle y = f(x)$ が区間 $I$ で微分可能な狭義単調関数とする。このとき、 $\displaystyle f(I)$ の逆関数 $\displaystyle x = f^{-1}(y)$ は、 $\displaystyle f'(x) = 0$ なる $\displaystyle x$ に対応する $\displaystyle y$ 以外の点において微分可能で、

$\displaystyle \frac{df^{-1}(y)}{dy} = \frac{1}{f'(x)}$

が成り立つ。

逆正弦関数

$\displaystyle y = \arcsin(x)$ は、定義域を $\displaystyle [-1, 1$ ] 、値域を $\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ ] とする。 $y$ がこの範囲にあるとき、 $\displaystyle \cos{y} \geq 0$ である。 $\displaystyle x = \sin{y}$ で、 $\displaystyle \frac{dx}{dy} = (\sin{y})' = \cos{y} \geq 0$ である。

$\displaystyle (\arcsin{x})' \\ \displaystyle = \frac{1}{(\sin{y})'} \\ \displaystyle = \frac{1}{\cos{y}} \\ \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{y}}} \\ \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

逆余弦関数

$\displaystyle y = \arccos(x)$ は、定義域を $\displaystyle [-1, 1$ ] 、値域を $\displaystyle [0, \pi$ ] とする。 $y$ がこの範囲にあるとき、 $\displaystyle \sin{y} \geq 0$ である。 $\displaystyle x = \cos{y}$ で、 $\displaystyle \frac{dx}{dy} = (\cos{y})' = -\sin{y} \leq 0$ である。

$\displaystyle (\arccos{x})' \\ \displaystyle = \frac{1}{(\cos{y})'} \\ \displaystyle = \frac{1}{-\sin{y}} \\ \displaystyle = -\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2}{y}}} \\ \displaystyle = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

逆正接関数

$\displaystyle y = \arctan(x)$ は、定義域を $\displaystyle [-\infty, \infty$ ] 、値域を $\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ ] とする。 $\displaystyle x = \tan{y}$ で、 $\displaystyle \frac{dx}{dy} = (\tan{y})' = \frac{1}{\cos^{2}{y}} = 1 + \tan^{2}{y}$ である。

$\displaystyle (\arctan{x})' \\ \displaystyle = \frac{1}{(\tan{y})'} \\ \displaystyle = \frac{1}{1 + \tan^{2}{y}} \\ \displaystyle = \frac{1}{1 + x^{2}}$